Probleme bei der Umrechnung von Maßstäben und Ursachen

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Bei der Umrechnung von von Maßstäben, kommen relativistische Effekte zum tragen, die alles, was mit dem zeitlichen Ablauf verkleinerter Objekte zu tun hat beeinflussen.

Da die Umrechnung von maßstäblichen Geschwindigkeiten vom Maßstab abhängt sind Formeln und Umrechnungstabellen eine einfache Möglichkeit zur Umrechnung.

Inhaltsverzeichnis

Warum ist die Umrechnung von Geschwindigkeiten für den Modellbau ein Problem?

Beim Verkleinern beliebiger Objekte verhalten sich Längenmaße und Volumen (und damit das Gewicht) höchst unterschiedlich:

Ein Würfel aus einem Kubikmeter (also ein Würfel aus 1 x 1 x 1 Meter) Eis wiegt ziemlich genau eine Tonne (1000 Kilo). Verkleinert man den Maßstab des Würfels auf 1:87, dann ist der Würfel nur noch 1,15 Kubikzentimeter groß (also ein Würfel aus 11,5 x 11,5 x 11,5 Millimetern) und wiegt ungefähr 15 Gramm.

1000 Kilo im Verhältnis zu 15 Gramm, das heißt, dass der Würfel - obwohl man ihn nur 87-fach verkleinert hat, über 66660 mal leichter geworden ist.

Dieser Effekt (verkleinern von Längen verursacht eine vielfache Verkleinerung des Volumens) ist für so ziemliche alle Probleme im Modellbau verantwortlich, auf der anderen Seite vereinfacht sie den Modellbau ungemein, weil wer würde schon gerne mit einer Modelleisenbahn spielen, bei denen die Loks 100 bis 1000 Kilo schwer sind?


Ursachen

Das oben beschriebene Verhalten ergibt sich nicht nur für Geschwindigkeiten, sondern alles, was verkleinert wurde und sich in irgend einer Form bewegt.

Extrem (Pseudo-)wissenschaftlich

Nimmt man an, dass die Masse eines Körpers von der Dichte und dessen Volumen abhängt

 [1] m  =  Volumen * Dichte

und nimmt ferner an, dass die Dichte eines Körpers sich über einige Entfernung nicht ändert, dann sieht man, dass die Masse eines Körpers nur von dessen Volumen abhängt.

Volumen aber wiederum berechnet sich aus Länge mal Breite mal Tiefe des Körpers:

 [2] m  =  Länge * Breite * Tiefe * Dichte

Nimmt man an, dass Länge, Breite und Tiefe gleich sind (ein Würfel), dann kann man schreiben

 [3] m  =  Länge ³ * Dichte

Das bedeudet, dass die Masse eines Körpers sich zur dritten Potenz stärker mit dessen Volumen ändert, als mit dessen Dichte.

Oder vereinfacht: Eine Verdoppelung der Länge aller Seiten eines Körpers ergibt eine Verachtfachung seiner Masse. Das kann man so schreiben:

 [4]      ( 2 * Länge ) ³   =  8 * ( Länge ³ )


... oder so, dass es jeder versteht

Nehmen Sie einen Eiswürfel aus dem Tiefkühlfach und legen sie ihn auf die Waage und merken sie sich den gemessenen Wert. Jetzt nehmen sie ein altes Messer, und machen sie es auf der Herdplatte heiß. Damit können sie den Eiswürfel teilen und zwar so, dass die entstehenden Würfel an allen Kanten genau halb so groß sind wie der ursprüngliche (oder zumindest ungefähr, nicht zu fest pressen, sonst bricht der Eiswürfel in mehr als 8 Teile). Sie werden feststellen, dass sie genau 8 Würfel erhalten und dass jeder ziemlich genau 8 mal leichter ist, wie der ursprüngliche Würfel (wenn sie schnell genug mit dem Auseinanderschneiden waren und noch nicht zu viel geschmolzen ist).

Man kann sich vorstellen, dass bei einem kleineren Maßstab als 1:2 (zum Beispiel 1:87) dieser Effekt (halbierung des Maßstab ist Verachtelung des Gewichts) wesentlich ausgeprägter ist.

Alternativ können sie statt einem Eiswürfel das auch mit Leberkäse, Kartoffeln oder anderen halbfesten Lebensmitteln machen. Sehr lecker ist zum Beispiel anschließend alles in eine Pfanne zu geben, anzubraten und am Ende ein Ei dazu zu geben.

Auswirkungen

Das hat überall da Auswirkungen, wo Massen bewegt werden. Beim

  • Beschleunigen/Abzubremsen
  • Rotieren
  • Bewegen durch Medien

von Massen aller Art. (Relativistisch) stillstehende Massen sind davon aber nicht beeinflusst, bzw. nur bis zu einem gewissen Verkleinerungsgrad; zum Beispiel Quanteneffekte aufgrund anderer Lichtbrechung, aber auch hier treffen ja Lichtstrahlen (die sich ja sehr schnell bewegen) auf den verkleinerten Körper und lösen somit den Effekt aus.

Praktische Umsetzung

In der Praxis (wir reden hier von Verkleinerungen bis etwa 1:500) wären das zum Beispiel

  • Geschwindigkeiten von Fahrzeugen
  • Wellen (von Wasseroberflächen zum Beispiel) und deren Erzeugung (z.B. durch Wind) und Brechung (am Ufer)
  • Aero- oder Hydrodynamische Bewegungen durch feste oder gasförmige Aggregatszustände
  • Schimmeigenschaften (in Luft und Wasser)
  • Rotationsgeschwindigkeiten
    • bei Fliehkräften
    • bei Umdrehungsgeschwindigkeiten für Propeller

In fast allen diesen Fällen wirkt sich das negativ auf die "Glaubwürdigkeit" des Modells aus.

Zur Vollständigkeit: Wir reden hier also nicht von "unbewegten" Modellen oder Modelllandschaften. Hier haben die obigen Effekte keine Auswirkung. Sie treten wie gesagt immer erst dann auf, wenn sich etwas durch die Modelllandschaft bewegen soll, sich also relativ zu dieser Modelllandschaft bewegt. Man kann daher also durchaus von relativistischen Verkleinerungseffekten reden.

Die Effekte, die hierbei in der Praxis auftreten werden hier im einzelnen betrachtet:

"Realistische Geschwindigkeit"

Der Begriff "realistische Geschwindigkeit" soll bedeuten, dass das Modell sich mit der im Verhältnis zum Original korrekten Geschwindigkeit bewegt. In der Regel ist das bei einem Maßstab von 1:87 eben genau 87 mal langsamer wie das Original. Dort wo dies nicht möglich ist, muss man Kompromisse schließen.


Zugmodellbau und Fahrzeugmodellbau

Fahrzeugmodelle

Die Verkleinerung von Fahrzeugen hat vom Fahrtechnischen her eigentlich nur Vorteile. Ein LKW wiegt zum Beispiel vollbeladen bis zu 33 Tonnen. Auf 1:87 verkleinert müsste er theoretisch 380 Kilo wiegen. In der Praxis wiegt mit Batterien, Motor und so weiter aber höchstens 400 Gramm.

Dadurch ergeben sich im wesentlichen folgende Eigenschaften in Bezug auf das Original:

  • wesentlich geringeres Gewicht
  • keine Federung notwendig
  • keine besonderen Eigenschaften des Fahrwerks notwendig
  • wesentlich verbesserte Kurvenlage
  • kein Abbremsen in Kurven notwendig
  • weniger Gewicht auf den Rädern (weniger Abrieb, viel weniger Haftung)
  • so gut wie kein Kraftaufwand zum Beschleunigen/Abbremsen auf "realistische Geschwindigkeiten"
  • viel weniger Reibung
  • so gut wie kein messbarer Luftwiderstand bei "realistischen Geschwindigkeiten"

Das heißt übrigens wiederum auch, dass ein verkleinertes Fahrzeug, bei dem all diese Fahrwerkhilfen trotzdem eingebaut wurden (also ein angepasstes Fahrwerk, Federung, Kurvenlage, Differenziale), ausgezeichnete Fahreigenschaften besitzt und in der Tat ist es in der Praxis auch so, dass zum Beispiel Geländefahrzeugmodelle mit entsprechendem Fahrwerk die Originale in Punkto Geländegängigkeit weit übertreffen (zieht man hinzu, dass das Gelände natürlich ebenfalls verkleinert wird).

Das fehlen eines Fahrwerks, eines regelbaren Antriebs, einer präzisen Lenkung und so weiter beeinträchtigt naturgemäß den Eindruck der "realistischen Geschwindigkeit". Anstrebenswertes Ziel für den Modellbauer sollte es daher sein, das Fahrverhalten der Fahrzeuge so gut wie möglich zu immitieren.

Zugmodelle

Beim Zugmodellbau ergeben sich naturgemäß weniger Effekte: Dadurch, dass ein Zugmodellbauer immer bestrebt ist nichtbewegliche Teile der Modellanlage, wie zum Beispiel Gleisradien und andere nichtbewegliche und auch bewegliche Details an der Lok dem Vorbild so ähnlich wie nur möglich zu machen und dies Bautechnisch bedingt auch viel einfacher ist, als bei einem Straßenfahrzeug (zum Beispiel muss eine Lok keine Lenkung haben, ein Motor als Antrieb genügt) und eine Lok von Natur aus kein so dynamisches Verhalten wie ein Kraftfahrzeug zeigt, fallen Unterschiede wesentlich weniger auf - was wohl auch die lange Entwicklung in diesem Bereich begünstigt hat. Nur so ist es zu erklären, dass einzig Zugmodellbau tatsächlich extrem dem Vorbild entsprechende natürlich wirkende Modellbahnen ermöglicht, woraus auch in der Regel der Hauptreiz des Modellbaus für den langjährigen Modellbahner besteht.


Flugmodellbau

Flugzeuge und Hubschrauber

Die Aerodynamik von stehenden Tragflächen hebt die Effekte des geringeren Gewichts des Modells auf, ja sie verstärken sich sogar, da je kleiner ein Objekt wird, um so größer wird die Oberfläche im Verhältnis. Das ist auch mit der Grund, warum Insekten in der Lage sind, mit Verhältnismäßig geringem Kraftaufwand zu fliegen.

Das gilt für Flugapparate bis hinab zu wenigen Millimetern. Es gibt zum Beispiel Käferarten, die kleiner als einen Millimeter sind, und aber mit eigenen Flügeln fliegen können.

Das gilt natürlich nur hinab bis zu einer gewissen Größe, ab einer gewissen Größe spielt die Form dann kaum eine Rolle mehr, sondern man kann dann einfach im weitestens Sinne von "Staub" sprechen, der für die weitere Betrachtung in diesem Wiki nicht mehr interessant ist. Aber man denke zum Beispiel an Löwenzahnsamen, die einen Samen von etwa einen Millimeter Größe mit Hilfe eines Art Fallschirms durchaus zehntausend Kilometer weit fliegen lassen können, weil das Verhältnis von Masse des Samens im zu "tragender Luft" so klein ist.

Für Flugmodelle hat die Verkleinerung des Maßstabs also eigentlich große Vorteile, weil das Gewicht im Verhältnis zum Original theoretisch 66660 mal niedriger ist, die Oberfläche (der Flügels usw.) aber "nur" 76 mal niedriger ist, woraus sich nach einfacher Rechnung ergibt, dass ein 87-fach verkleinertes Flugzeug einen etwa 870 mal größeren Auftrieb hat - bei gleicher Geschwindigkeit zum Original versteht sich. Und das ist auch das Problem: Denn wenn man die Geschwindigkeit des Flugmodells ebenfalls um den Faktor 87 verringern würde, dann würde es überhaupt keinen Auftrieb mehr haben, trotz den 870 mal höheren Auftriebs. Weil die dynamischen Eigenschaften von Luft bei unterschreiten gewisser Geschwindigkeiten sich rapide verändern.

Wir stellen also fest, dass sich die Geschwindigkeit eines verkleinerten Flugmodells trotz des im Verhältniss viel geringeren Gewichts zum Original nicht ebenso verringern lassen, weil die dynamischen Eigenschaften von Luft (und Wasser) stark von der Geschwindigkeit abhängen und bei Unterschreiten gewisser Mindestgeschwindigkeiten einfach plötzlich "abreißen".

Das gilt ebenfalls für einen weiteren wichtigen Aspekt des Flugmodellbaus: Fast alle zur Zeit selbstfliegenden Flugmodelle basieren auf Propellerantrieben. Das ist insofern wichtig, als das die Aerodynamik beim Verkleinern eines Propellers sich an der Geschwindigkeit der Flügelspitzen des Propellers orientieren muss. Um den gleichen Auftrieb/Vortrieb zu erzeugen, muss die Geschwindigkeit in beiden Fällen etwa identisch ein.

Beispiel: Ein Hubschrauber mit einem Hauptrotor im Radius von 10 Metern (Die Zahlen sind fiktiv zwecks einfacherer Rechnung) dreht den Propeller im Normalfall mit etwa 100 upm, das sind 1,7 Umdrehungen pro Sekunde, also pro Umdrehung etwa 0,15 Sekunden. Pro Umdrehung legt das Rotorblatt dann außen einen Weg von etwa 60 Metern zurück, woraus sich dann außen am Rotor eine Geschwindigkeit von ungefähr 100 Metern pro Sekunde oder 360 Kilometer pro Stunde ergibt.

Verkleinert man den Propeller auf 1:87 muss die Rotationsgeschwindigkeit des (auf rund 11,5 Radius Zentmeter geschrumpften und damit einen Weg von etwa 70 Zentimetern zurücklegenden) Propellers, damit er außen ebenfalls 100 Meter pro Sekunde erreicht 70 Umdrehungen pro Sekunde erreichen, das sind 4200 Umdrehungen pro Minute. Also 42 mal höher wie im Original.

In der Praxis versucht man daher die Propeller nicht ganz dem Original entsprechend im Durchmesser zur leicht zu Vergrößern.

Nicht unerwähnt muss auch bleiben, dass durch den geringeren Radius der Propelleranstellwinkel steiler gewählt wird. Das gesagte gilt im Übrigen auch für Schiffsschrauben, da es sich hier ebenfalls um Propeller handelt.

Luftschiffe

Luftschiffe sind Flugkörper, die zum Beispiel mit Helium gefüllt sind und so durch ihren Auftrieb in der Luft schwimmen.

Man kann Luftschiffe nur bis zu einem gewissen Grad verkleinern. Denn bei Luftschiffen verhält es sich genau andersherum: Je geringer das Volumen, um so höher das Verhältnis zum Eigengewicht.

Hierzu ist folgende einfache Rechnung: Helium hat eine Dichte von 0,18 Kilo pro Kubikmeter. Luft hat eine Dichte von 1,204 Kilogramm pro Kubikmeter.

Ein Kubikmeter Helium, das in Luft schwimmt hebt also ungefähr ein Kilo (Dichte von Luft Minus Dichte von Helium mal 1 m³). Ein Kubikmeter sind 1000 Liter. Um 10 Gramm zu heben braucht man den hundertsten Teil, also 10 Liter.

Mit einem Liter Helium kann man also ein Gramm heben. Das ist der Grund, warum Luftballonverkäufer nicht davonfliegen.


Schiffsmodellbau

Bei einem Schiff gibt es zwei Dinge, die eine Anlehnung an das Original unmöglich machen:

  • Antrieb (Schiffschraubenantrieb)
  • die erzeugten Wellen des Schiffs hängen von der Geschwindigkeit ab

Wie schon oben bei den Flugzeugen erwähnt, kann man einen Propeller oder wie hier eine Schiffschraube (was vom Prinzip her das gleiche ist) nicht mit der gleichen Umdrehungsgeschwindigkeit betreiben um einen realistischen Vortrieb zu erreichen, sondern man muss wesentlich schneller drehen, was in klarem Wasser natürlich auffällt. Alternative wäre hier nur, den Antrieb durch versteckten Wasserstrahlantrieb zu gewährleisten und die Schiffschraube zur Schau in "realistischer Geschwindigkeit" mitdrehen zu lassen.

Ähnliche Probleme bereitet übrigens auch der Antrieb mittels Schaufelrad, auch hier sind wesentlich höhere Geschwindigkeiten des Schaufelrads notwendig.

Beim zweiten Punkt - also den erzeugten Wellen des Schiffs tut man sich noch schwerer. Denn ob und welche Arten von Wellen ein Schiff bei der Fahrt durch das Wasser erzeugt hängt stark davon ab, wie schnell es hindurch fährt. Man wird selbst beobachten können, dass unterhalb gewisser Geschwindigkeiten so gut wie keine Wellen erzeugt werden. Damit jedoch (realistische) Wellen erzeugt werden, muss das Schiffsmodell mit einer wesentlich höheren "realistischen Geschwindigkeit" durch das Wasser fahren, als es dem verkleinerten Original eigentlich entspricht.

Es gibt hierzu eigentlich zwei mögliche Regeln:

  • Bei größeren Gewässern fährt man so schnell, dass das Wellenbild dem Original entspricht
  • bei kleineren Gewässern oder vielen stehenden Modellobjekten in vergleichbarer Nähe des Schiffsmodells muss man langsamer fahren, mitunter so langsam, dass gar keine Wellen mehr entstehen aber man dafür in Relation zur restlichen Landschaft in "realistischer Geschwindigkeit" fährt

Wasser und Wasseroberflächen

  • Wellen
  • Wellenentstehung
  • Wellenbrechung
  • Realistische Wasseroberfläche

TODO

Fliehkraft, drehende Objekte, Fallgeschwindigkeiten (z. B. Jahrmarkt)

  • Fliehkräfte
  • "Achterbahnen", bzw. Fallgeschwindigkeiten
  • "Ruckartige Bewegungen"

(Sanfter Anlauf sieht "schwerer" und damit echter aus...)

TODO